Av Bjørn Lerkerød.
Max Planck - kvantefysikkens far - er hovedoppslag i FFV Nr. 4 - 2000. Det er viktig og riktig at Planck får stor oppmerksomhet og heder. Imidlertid er det enkelte detaljer som ikke stemmer. Det er ikke alt som står der, som bør siteres videre uten korrektiv. Derfor har jeg skrevet dette. Mesteparten er bare utdypning og flere detaljer, men noe er forsiktige rettelser.
Planck: Litt om mannen
Planck: varmestrålingsloven og ultrafiolettkatastrofen
Planck: Utledning av varmestrålingsloven
Kilder

Planck: Litt om mannen

Det vil overraske mange at Max Planck ved "Abitur" 16 år gammel fikk karakteren 2 i alle fag. Det holdt ikke til å komme inn på den prestisjetunge Maximillian-stiftelsen. Skolegangen måtte fortsette på en annen skole. Kanskje varsler likevel en uttalelsen i skolepapirene om "klaren logische Kopf" om guttens muligheter for videre utvikling. Det tok 6 års målrettet og utholdende arbeid for å komme til den klarhet om varmestråling som til sist førte fram til riktig formel og til kvantehypotesen. Grundighet, klarhet, åpenhet for nye tanker og anstendighet, kan være ord som karakteriserer Plancks arbeid og holdninger. Klarhet i tanke og språk kjennetegner offentlige taler og populærvitenskapelig skrifter han ga ut i senere år.

Max Planck var en av de første til å godta Einsteins relativitetsteori og gjøre den kjent. Han støttet den unge Albert Einstein. I en kronikk i Aftenposten om "Einstein, sionisme og Palestina" skriver Bertold Grünfelt: "…Mange stilte seg skeptisk til Einsteins teorier om tidens relativitet. Einstein fikk sterk faglig og vennskapelig støtte fra fysikerkollegaen Max Planck. I vitenskapen sto de skulder ved skulder. Politisk-ideologisk var de nærmest motpoler - Planck som den dypt konservative og tysk-nasjonalsinnede, med sterkt forsvar bl.a. for Tysklands engasjement i første verdenskrig, og sosialisten og pasifisten Einstein, som så på krigen som et sammenbrudd for den europeiske sivilisasjon."

Når det gjaldt kvanteteorien prøvde Max Planck å gjøre avstanden til klassisk fysikk minst mulig, mens Albert Einstein tenkte nye og radikale tanker. Sett at vi så på strålingen som partikler …. Noen setninger Planck skrev i forordet til 2. utgave av sin lærebok (1912) om varmestråling forteller mye: "While many physicists, through conservatism, reject the ideas developed by me, or, at any rate, maintain an expectant attitude, a few authors have attacked them for the opposite reason, namely, as being inadequate, and have felt compelled to supplement them by assumptions of a still more radical nature, for example, by the assumption that any radiant energy whatever, even though it travel freely in a vacuum, consists of indivisible quanta or cells. Since nothing probably is a greater drawback to the successful development of a new hypothesis than overstepping its boundaries, I have always stood for making as close a connection between the hypothesis of quanta and the classical dynamics as possible, and for not stepping outside of the boundaries of the latter until the experimental facts leave no other course open."

Max Planck kunne være ikke bare klar, men skarp også. Til å begynne med var Planck tilhenger av Ernst Machs syn på fysikk. Etter hvert så han at det var Boltzmanns vei og et atomistisk syn som måtte til for å løse problemene med varmestrålingsloven. Boltzmann-biografen Cercignani sammenligner Plancks nye innsikt som en åpenbaring. En damaskus-opplevelse med klar referense til det syn forfølgeren Saul hadde utenfor Damaskus. Synet som gjorde ham til apostelen Paulus. Flere referanser med Plancks arbeider fra 1904, 1909 og 1933 viser skarpe angrep på Mach og på hans filosofi.

Etter at Planck ved aldersgrensen gikk av som professor arbeidet han frem til 1937 for å fremme tysk vitenskap som president i Kaiser Wilhelm Gesellschaft zur Förderung der Wissensschaften. Han kom ikke utenom de små kompromisser tiden førte med seg. Vi kan finne eksempler på uttalelser med obligatorisk hyllest til Føreren. Max Planck var utvilsomt nasjonal, men aldri nasjonalsosialist. Da krigen sluttet hadde han fortsatt usvekket internasjonal respekt. Da administrasjonen av Kaiser-Wilhelm-gesellschaft ble flyttet fra Berlin til Göttingen, ble Planck satt inn som fungerende president. I april 1946 var Otto Hahn fri til å kunne overta. I juli 1946 var det stor feiring av Newton i Royal Society i London. Planck var eneste inviterte tysker. Lise Meitner (som hadde emigrert) var til stede. Om Planck ved dette møtet sa hun senere: "Seine geistigen und menschlichen Qualiteten waren wunderbar wie immer." Da var Planck 88 år gammel.

De britiske okkupantene mislikte navnet Kaiser-Wilhelm på institusjoner i Tyskland. Det minnet om sabelrasling og sjømilitær ekspansjon. Løsning : Vi kaller det Max-Planck-Gesellschaft og alle vil være fornøyd.

Max Planck opplevde mange tragedier i nær familie. Han opplevde også svekket helse og smerter. Da han døde 4. oktober 1947 sørget venner, elever og elevers elever. Erwin Shrödinger sa: "Erfolg, Ehren, Anerkennung innere Befriedung im Bewusstsein, gröbter Leistung - und doch wom bittersten Unglück verfolgt sein ganzes Leben lang, immer ärger, genau wie im Buch Hiob."

Planck: varmestrålingsloven og ultrafiolettkatastrofen

Den indre logikk i Plancks arbeid.

Planck offentliggjorde arbeider om varmestråling fra midten av 1890-årene. Da var de klassiske strålingslovene Stefan-Boltzmanns lov (S: 1879, B: 1884) og Wiens forskyvningslov (1893) utledet fra termodynamikk og bekreftet eksperimentelt. Ut fra Kirchhofs lov om emisjons- og absorbsjonsevne (1859) kunne man føre bevis for at stråling i likevekt ved materie måtte være en funksjon av bare temperatur og frekvens. Da måtte varmestrålingsloven være en universell funksjon uavhengig av materialet i veggene som omsluttet strålingen. Max Planck tok utfordringen og arbeidet systematisk gjennom 6 år for å finne denne loven.

Wiens forskyvningslov viser at loven om energitettheten i et frekvensintervall, energifordelingsloven, er av formen

Ved variabelskifte til bølgelengde er det lett å vise at funksjonen har et maksimum. Det gir den mest siterte formen av Wiens forskyvningslov

W. Wien kom med et forslag til energifordelingslov i 1896. (Wiens energifordelingslov, W) Den stemte bra med målinger, men begrunnelsen holdt ikke mål. Planck angrep problemet ut fra den innsikt at strålingen ikke bare måtte være i samsvar med termodynamikk, men også med lovene for elektromagnetisk stråling. Plancks arbeid førte i første omgang også fram til Wiens energifordelingslov.

I 1899 ble Planck kjent med at gode målinger ved store bølgelengder viste avvik fra Wiens energifordelingslov. Her var strålingsintensiten proporsjonal med temperaturen i veggene i strålingskilden. Med den bakgrunn Planck hadde fra arbeidet med strålingsteorien, kunne han omdanne denne sammenhengen til et uttrykk for den andrederiverte av strålingsentropien med hensyn på strålingsenergien. Wiens energifordelingslov ledet til et annet uttrykk for denne andrederiverte. Planck kombinerte disse to uttrykkene og integrerte. Resultatet ble en formel som passet med målinger over hele spekteret.

Neste trekk var å finne en teoretisk begrunnelse. Tidligere hadde Planck sett med skepsis på Boltzmanns atomisme, men fra 1898 tok han i bruk strategier inspirert av Boltzmann. Det var Boltzmanns metoder Planck tok i bruk og utviklet videre for å utlede varmestrålingsloven. Boltzmann hadde knyttet entropi og sannsynlighet sammen, men skrivemåten S = k ln W var Plancks grep. Det entropiuttrykk Planck fant ut fra sannsynligheter, måtte stemme med Wiens forskyvningslov. Det førte til at energitettheten i frekvensintervallet (n, n+ dn) var proporsjonal med frekvensen og kunne skrives e = hn . Å dele energien inn i intervaller for å kunne telle tilstander var ikke noe nytt. Neste skritt var å snevre inn intervallene. Nå kom overraskelsen: Entropiuttrykket som Wiens forskyvningslov ga, divergerer når h ® 0. Det betyr at h må være en endelig størrelse. Den energi som utveksles ved emisjon eller absorbsjon av stråling er følgelig en minste energi multiplisert med et naturlig tall. Kvantehypotesen hadde vist seg. Den var ikke til å unngå.

Diskusjonener om den rette strålingsloven.

Det er påfallende at Plancks avhandling offentliggjort ved overgangen til 1900-tallet ble møtt med øredøvende taushet. Først i 1905 begynte det å skje noe i Tyskland og i England.

I Tyskland var det Albert Einstein. Det skjer med den avhandlingen som er mest kjent for forklaring av den foto-elektriske effekten. (I omfang opptar delen om foto-elektrisk effekt under 5 % av avhandlingen.) Hovedsaken er å drøfte strålingsloven i forhold til andre prinsipper i fysikk. Einstein låner en formel fra Planck som gir sammenhengen mellom energitetthet av stråling i et frekvensintervall. Det kombinerer han med midlere energi for en oscillator som står i vekselvirkning med strålingen. Når Einstein setter den midlere energien lik kT, får han den lov som er blitt kjent som Rayleigh-Jeans lov, (R-J). Noen har ymtet at loven like godt kunne kalles Einsteins lov. Loven divergerer ved høye frekvenser og må derfor være gal. Einstein konstaterer det og går videre. Ved høye frekvenser brukte han ganske enkelt Wiens energifordelingslov. Noen ultrafiolett katastrofe var det ikke snakk om.

I England kom lord Rayleigh med forslag til en strålingslov i et leserbrev i Nature år 1900. James Jeans kom på banen i 1904. Hans lærebok "The Dynamical Theory of Gases" var nettopp utgitt. Lord Rayleigh utfordret ham om sammenhengen mellom stråling og prinsippet om likefordeling av energi. Ut fra antall svingetilstander i eteren (!) og midlere energi per svingning utledes så Rayleigh-Jeans lov i 1905. I ettertid er det underlig å lese hvordan Jeans i flere år fremover insisterte på at "hans" lov var riktig og at det var galt å la h ® 0. I debatten som nå gikk, var temaet holdbarheten i kvantehypotesen og bruken av ekvipartisjonsprinsippet.

Konklusjon

Ut fra dette ser vi det misvisende og totalt uhistoriske i å hevde at Planck fant strålingsloven for å unngå ultrafiolettkatastrofen. I tillegg må vi nevne at Planck i synet på fysikk var realist. Han var overbevist om at det måtte eksistere en universell strålingslov nedfelt i naturen. Den ville han oppdage, ikke oppfinne.

Tolkning av loven.

Det er to veier som fører fram til Plancks strålingslov: (1) undersøkelse av stråling i likevekt med materie eller (2) utledning fra energifordeling mellom svingetilstander. I ettertid er det lettest å tolke e = hn som energien av et foton eller en svingetilstand.

For energitettheten i frekvensintervallet (n, n+ dn) kan vi skrive Plancks lov som

Dette kan deles inn som

Faktorene kan tolkes som

   ^* Erstatt gjerne ordene 'svingetilstand' eller 'svingning' med 'foton'.

Ved store frekvenser øker energien for en fotonenergien. Samtidig avtar antall tilgjengelige tilstander så raskt at produktet går asymtotisk mot 0. Ekvipartisjonsprinsippet gjelder ikke for strålingen.

Et paradoks.

Ved høye frekvenser fører Plancks strålingslov til Wiens energifordelingslov. Eksponensialleddet er mye større enn 1. Leddet 1 i nevneren bidrar forsvinnende lite og kan strykes. Andelen av mulige tilstander følger den klassiske Boltzmanns fordelingslov.

Ved lave frekvenser kan vi i Plancks lov rekkeutvikle eksponentialfunksjonen og trekke sammen. Det fører til Rayleigh-Jeans lov. Da er hver svingetilstand tilordnet 2^. ½ kT. (To uavhengigge polarisasjonsretninger.)

Det er vanlig å regne langbølget stråling til klassisk fysikk og høyfrekvent stråling der partikkelegenskapene blir tydelige til kvantefysikken. Nå ser vi at vi må bruke kvantestatistikk med Bose-Einstein fordelingen for å få korrekt fordelingslov i det langbølgete området. Her er ekvipartisjon oppfylt. I det høyfrekvente området av strålingen derimot beskriver den klassiske statistikken fordelingen, mens ekvipartisjonen ikke gjelder.

Etterord

Er fotonet partikkel og/eller bølge? -eller kanskje verken bølge eller partikkel? Spørsmålet har uroet mange. Det er vanskelig å finne klare svar som får allmenn aksept. Tolkningen ovenfor gjennomføres både med et bølgebegrep (svingetilstand) og med et partikkelbegrep (foton). Det tyder på at denne dobbeltheten stikker dypt.

Vi kunne kanskje få en enklere, men likevel dekkende, beskrivelse ved å si at fotonet kan pendle mellom to tilstander? Den ene tilstanden er som partikkel. Den andre tilstanden er som bølge. Da vil begge muligheter alltid ligge åpne, men bare én av gangen.

Planck: Utledning av varmestrålingsloven

Max Planck fant fram til formelen for energitettheten i svart stråling i to trinn. Først interpolerte han mellom funksjoner som ga riktig resultat ved henholdsvis lave frekvenser og høye frekvenser. Interpolasjonsformelen viste god overensstemmelse med alle kjente målinger. Dernest fant han fram til en teoretisk begrunnelse for den formel som han nå visste var riktig. Den teoretiske begrunnelsen måtte bryte med det gamle prinsipp "natura non facit saltus", naturen gjør ikke sprang. Kvantehypotesen var ikke til å komme forbi.

Interpolasjonsformelen

Planck nærmet seg varmestrålingen ved å studere entropien til et system. Først en enkelt oscillator, senere oscillatorer i vekselvirkning. La n være en vilkårlig frekvens i strålingen, la S_n være entropien i intervallet (n , n + dn) og E_n være utstrålt effekt per flate. Planck fant

Integrasjon gir et uttrykk for S_n . Men da

gir dette en funksjon som sammen med kravet Wiens forskyvningslov stiller til form på funksjonen fører til Wiens energifordelingslov på formen

Det er verd å merke seg at Planck som tidligere hadde stått mot Boltzmann i synet på entropi, allerede nå godtok Boltzmanns metoder og syn på entropi som en størrelse underlagt statistiske variasjoner.

De nye målingene Planck ble kjemt med i oktober 1900 betød at for store bølgelengder må det gjelde at E_n = C T , der C er en proporsjonalitetskonstant. Dette betyr igjen

Plancks interpolasjon består i finne en form som knytter disse to uttrykkene for den andrederiverte av entropien sammen:

Integrasjon og overgang fra E_n til energitettheten u_n gir

Her er a og C integrasjonskonstanter som foreløpig mangler mening.

Teoretisk utledning

Planck arbeidet seg fram til et uttrykk for den midlere entropi for alle oscillatorerene i frekvensintervallet (n , n + dn) ved å sette S = k ln W. Sannsynligheten finner han ved å telle opp antall mulige kompleksjoner. Han tenker seg N oscillatorer. Samlet energi setter han lik et helt tall multiplisert med en minste energi, e. Dette fører til et uttrykk for S_n. Uttrykket må ha en form som oppfyller Wiens forskyvningslov. For å oppnå det må han sette e = hn.

Entropiuttrykket blir da

I dette uttrykket kan ikke h ® 0. Energielementet e må ha en endelig, minste størrelse.

Nå går resten med kjente relasjoner. Først gir et uttrykk for E_n . Så følger overgang til energitetthet u_n :

Konstantene k og h er fundamentale konstanter som første gang dukket opp gjennom dette arbeidet. "k", sener kalt Boltzmanns konstant, er lik gasskonstanten R dividert med Avogadros tall. Konstanten "h" får snart navnet Plancks konstant. Nærvær av h i lover viser at kvanteteorien trengs for å belyse fenomenet loven beskriver.

 Kontroll av formelen og verifikasjon

Planck påviser at loven har en form i samsvar med Wiens forskyvningslov. Integrasjon over alle frekvenser gir Stefan Boltzmanns lov.

Verdien av k gir en god verdi for Avogadros tall. Konstanten i kan uttrykkes ved universelle konstanter og tall. Verdien stemmer med observasjoner.

Rayleigh-Jeans lov sto ikke på dagsorden da Planck utledet loven som har fått hans navn. Det er lett å vise at Plancks lov for små n faller sammen med Rayleigh-Jeans. Tilsvarende fører store frekvenser til sammenfall mellom Plancks lov og Wiens energifordelingslov. Dette gjorde Planck trygg på loven og på at konstanten h var en fundamental konstant som ikke var til å komme utenom.

Kilder:

Max Planck: The Theory of Heat Radiation , 2. utgave 1912 (Dover 1959)

Wissenschaftliche Selbstbiographie, Leipzig 1948

Einstein's Miraculous Year, Princeton UP 1998

Carlo Cercignani: Ludwig Boltzmann, The Man Who Trusted Atoms, Oxford UP 1998

Süddeutschen Zeitung, 8./9. Desember 2000 (Ukebilag)

Die Zeit, 14. desember 2000, side 38

Egen hovedoppgave: Forskjellige utledninger av varmestrålingsloven, og en sammenligning mellom disse. Fysisk institutt, UiO 1963.