Magnetisme og relativitetsteori

Av Lars Olav Tveita, Sjøkrigsskolen.
I november stilte eg eit spørsmål: Lærebøkene i fysikk 3Fy nemer ikkje eit ord om at magnetiske krefter er ein relativistisk komponent av elektriske krefter. Kvifor ikkje? Er det fordi universitetskursa i fysikk heller ikkje nemner det?
Sjå også artikkel av Knut Liestøl.
Eg har fått inn to svar:
Frå Bjørn Lerkerød, Skien vgs:
Øivind Grøn, Høgskolen i Oslo:
Sluttkomentar av Lars Olav Tveita.

Frå Bjørn Lerkerød, Skien vgs:
Dette er et forsøk på svar og en kommentar.

Presisering
Påstand: "Magnetiske krefter er ein relativistisk komponent av elektriske krefter".

Presisering:
Den spesielle relativitetsteorien viser at et rent elektrisk felt i et koordinatsystem S fremtrer med en magnetisk komponent i et system S' som beveger seg med konstant fart i forhold til S.

B. Lærebøkene i 3FY

Mye kunne være interessant å ta med i en lærebok, men det er lett å forstå at forfatterne må legge bånd på seg. Dersom det er rett beskrivelse at "Universitetskursa i fysikk heller ikkje nemner det", har forfatterne et godt argument for å la dette ligge.

Noe stoff av mer orienterende art kan legges inn i undervisningen, selv om det ikke står i læreboka og ikke kan kreves til eksamen. Det er sikkert mange av oss som tar med at Maxwells ligninger som ga problemer ved overgang til at annet inertialsystem, viste seg å harmonere med Den spesielle relativitetsteorien. Newtons mekanikk, derimot, måtte reformuleres.

Alle skolene burde ha boka "Einstein for begynnere" på biblioteket. Sidene 94 og 95 følger som vedlegg.

C. Universitetskursene

Lærebøkene som ble brukt i relativitetsteori i min tid, inneholder transformasjon av E- og B-felt, men dette var ikke eksamensstoff. Tilsvarende husker jeg at professor Tangen i kurset om elektrisitetslære i 1. avdeling viste at transformasjon av E-feltet også ga en komponent med B-felt, uten at dette var eksamensstoff. Med andre ord: Vi fikk muligheter til å vite, men gikk ikke nærmere inn på saken. Noe av grunnen er nok at den matematiske formalismen som er nyttig på et høyere nivå, skygget for fysisk forståelse. I et innføringskurs må ikke formalisme gå i veien for forståelse.

D. Litt historie

Innledningen i EMY og epilogen i Sr gir oversikt og videre henvisninger. Sitatene nedenfor er hentet fra EMY.

"Mechanically all inertial systems are equivalent. In accordance with experience, this equivalence also extends to optics and electrodynamics. However, it did not appear that this equivalence could be attained in the theory of the latter. I soon reached the conviction that this had its basis in a deep incompleteness of the theoretical system. The desire to discover and overcome this generated a state of psychic tension in me that, after seven years of vain searching, was resolved by relativizing the concepts of time and length." (1932)

"My direct path to the special theory of relativity was mainly determined by the conviction that the electromotive force induced in a conductor moving in a magnetic field is nothing other than an electric field. But the result of Fizeau’s experiment and the phenomenon of aberration also guided me." (1952)

Einsteins 1905-avhandling hadde tittelen "Om elektrodynamikk for legemer i bevegelse". Det er godt samsvar mellom innledningen i avhandlingen og sitatene ovenfor. Det kan tale for at vi i elementærundervisningen om spesiell relativitetsteori skulle inkludere noe av dette i tillegg til ny begrepsdannelse for tid og rom.

E. Relativitet og elektrisitet

Det følgende er en antydning av hva som er å finne i Sr, spesielt kap. 8.

The transformation relations of relativity theory will enable us to discover how things are described in this new coordinate system. We shall learn that the law describing the electric field of a moving charge differs from that for a stationary charge. In addition, we shall see that a moving charge exerts a force upon a second moving charge that depends upon the velocities of both charges. This interaction will enable us to identify the magnetic field of the moving charge, whereas no such field exists for the stationary charge. … What appears as a magnetic field in one coordinate system is nothing else but an electric field when viewed in some other coordinate system. On the basis of Coulomb’s law alone (plus relativity) we can generate a quantitative description of the electric and magnetic interactions between charges moving with arbitrary constant velocities (and can also deal with many problems, although not all, involving accelerated charges).

Når kilden, , er i ro vil det elektriske feltet som virker på en testladning , , være det samme enten testladningen er i ro eller i bevegelse i forhold til kilden. Dette er et empirisk funn. Sr studerer så først feltet fra ladning i ro på en uendelig lang linje. Deretter ser vi på forholdene når ladningene er i bevegelse.

I S' systemet kan vi bruke den tidligere utledning. Kraften følger av . Denne kraften blir så transformert tilbake til S. Da får kraftuttrykket to ledd. Ut fra tidligere resultater kan dette tolkes som .

For å få kraften på en ladning i bevegelse nær en strømførende leder må vi innse at den strømførende lederen har negative elektroner i bevegelse og positive ioner i ro. Det vil nulle ut det elektriske feltet. Fremstillingen i Sr blir ført fram til kraft på strømførende leder i magnetfelt.

Sr belyser også overgangen mellom c.g.s.-systemet og MKSA-systemet i elektrisitetslæren. I c.g.s.-systemet er kraften definert ut fra Coloumbs lov, altså ladninger i ro. I MKSA-systemet derimot er kraften definert ut fra kraften mellom strømførende ledere. Da kommer relativitetsteori og lyshastigheten c inn i bildet.

F. Konklusjon

Når innføring i relativitetsteorien tar med sammenhengen mellom magnetsisk felt og elektrisk felt, vil det gi økt forståelse av teorien. På videregående skole kan det bare skje kvalitativt. På nivå førsteavdelingskurs, vil en kvantitativ behandling være innen rekkevidde.

Kilder

Efb J. Schwartz, M. McGuinnes: Einstein for begynnere. Gyldendal 1981.

En utradisjonell innføring, som gjør mange poeng lettere tilgjengelig. Populariseringen er tar

tydelig utgangspunkt i orginaldokumenter.

EMY Einstein's Miraculous Year. Princeton UP 1998.

5 avhandlinger fra 1905 i engelsk oversettelse, ledsaget av innføring i temaet og kommentarer.

Sr A. P. French: Special relativity. Chapman and Hall 1991 (1968)

Boka er kommet i serien "M.I.T. Introductory physics series".

Vedlegg: Efb s. 94 og s. 95:
Einstein1.jpg (98811 bytes)

Einstein2.jpg (99492 bytes)

Øivind Grøn, Høgskolen i Oslo:

Magnetismen som relativistisk korrektur til elektrisiteten.

I den klassiske elektromagnetisinen oppfattes den elektriske- og den magnetiske kraften som to forskjellige krefter. Man kan vise at i SRT (Den spesielle relativitetsteorien) forenes disse i en eneste vekselvirkning. Magnetismen opptrer som den hastighetsavhengige, relativistiske korrektur til elektrisiteten.

Vi skal her se hvordan magnetkraften på en ladning som beveger seg nær en strømforende leder, kan utledes - ved hjelp av den relativistiske kinematikk og dynamikk - fra den elektrostatiske kraften mellom ladde legemer.

Vi betrakter en strømførende leder, der vi for enkelthets skyld antar at de positive og negative ionene beveger seg med samme hastighet v i motsatte retninger. Ladning pr. lengde-enhet for hver av ionetypene er l = Sne, der S er lederens tverrsnitt, n = antall ioner pr. volumenhet, e = ladningen til et ion. (ne er ladning pr. volumenhet). Strømstyrken i ledningen skyldes både de positive og de negative ionene og er

I = 2 Sven = 2 lv. (1)

Lederen er i ro i inertialsystemet K. Observert i K er den elektrisk nøytral. En ladning q passerer langs lederen med hastighet u i samme retning som de positive ionene i lederen beveger seg. Inertialsystemet som følger q, kalles K'. La oss finne ut hvordan q erfarer lederens nærvær (se fig. 1 og 2).

Fig. 1 Fig. 2

Vi kan først merke oss at ladning pr. lengdeenhet for ionene i deres egne hvilesystem, Ko ,er

siden de har hastighet v i K, slik at avstanden mellom dem, målt i K er Lorentz kontraktert i forhold til avstanden mellom dem målt i Ko .

Hastigheten til ionene, målt i K' er

(3)

Ladning pr. lengdeenhet, målt i K' er da

(4)

Innsetting fra (2) og (3) i (4) og utregning gir

(5) og (6)

Dvs. observert i ladningens hvilesystem K' har lederen en netto negativ ladning pr. lengde-enhet

(7)

Som et resultat av den ulike Lorentz kontraksjonen for de positive og de negative ionene i en strømførende leder, vil en leder som er elektrisk nøytral i laboratoriesystemet K, observeres å være elektrisk ladd i inertialsystemet K'som følger ladningen q.

Observert i K' forårsaker lederen et elektrisk felt

, (8)

der E er feltstyrken i avstand r fra lederen. Hvis q >0 , virker en elektrisk kraft på q inn mot lederen

(9)

Hvis der virker en kraft på q i K' , så må det også virke en kraft på q, observert i K. Ifølge den relativistiske transformasjonen av en kraftkomponent i samme retning som K's hastighet i forhold til K, er

(10)

Ved å sette inn I = 2lv fra likning (1), samt å benytte at

fåes

(11)

Dette er nøyaktig det samme uttrykket vi ville ha fått om vi hadde regnet ut den magnetiske flukstettheten rundt den strømførende lederen

(12)

og så brukt likningen for magnetisk kraft på en ladning i bevegelse

(13)

Vi har her sett hvordan en magnetisk kraft fremkommer som en konsekvens av en elektrostatisk kraft og den spesielle relativitetsteorien. Betraktningen ovenfor viser også at en kraft som er elektrostatisk i ett inertialsystem, vil tolkes som magnetisk i et annet inertialsystem.

Sluttkomentar av Lars Olav Tveita.

Ein elev som avsluttar 3Fy, vil i dei aller fleste tilfelle gå ut frå at "relativistiske effekter" oppstår ved svært høg fart. I ein ledning går elektronane med fart på cm/s, likevel får vi altså ein viktig relatvistisk effekt. Eleven vil også gå rundt og tru at elektrostatiske og magnetiske krefter er to separate naturkrefter. Kan vi ta med i fysikkpensumet at den magnetiske krafta er eit spesialtilfelle av den elektrostatiske krafta, at alle fysiske fenomen i prinsippet kunne vore forklart utan ei magnetisk kraft og eit magnetfelt (eller er ikkje det tilfelle)?

Spørsmål/kommentarer til Øivind Grøns artikkel om magnetisme og relativitetsteori
Av Øyvind Guldahl:
Jeg har noen spørsmål/kommentarer til Øivind Grøns artikkel om magnetisme og relativitetsteori som jeg leste med stor interesse.

Hvis jeg har forstått dette riktig, så er det slik at når ladningsbærende partikler beveger seg i en leder, så vil avstanden mellom dem bli lengdekontraktert, med det resultat at ladningstettheten blir større. I en metalleder er det jo som kjent elektronene med negativ ladning som beveger seg mens den positive ladningen ligger stille.

Da må det være slik at enhver ellers nøytral metalleder vil bli negativt ladd når det går strøm i den!?

(Dette er spørsmålet mitt)

En positiv ladning i ro ved siden av en strømførende metalleder vil da føle en kraft inn mot lederen. Denne krafta kan alternativt forklares med at magnetfeltet rundt lederen selv beveger seg i samme retning som elektronene med halvparten av deres fart. (Dermed forsvinner krafta når + og - ladningene går like fort i hver sin retning.) Dette gir også en kraft inn mot lederen.

Når vi vet at vanlige elektronfarter måles i mm/s eller cm/s, så er det virkelig overraskende at vi får slike lett observerbare relativistiske effekter. Dette illustrerer at det er skrekkelig mye ladning som beveger seg i en strømførende leder, eller at de elektromagnetiske kreftene er mye sterkere enn vi tenker over til daglig fordi vi ellers bare observerer små ladningsdifferenser.

Har jeg forstått dette riktig!

Hilsen Øyvind Guldahl

Svar på spørsmål om magnetisme og relativitetsteori

Øyvind Grøn, Høgskolen i Oslo

I siste nummer av Fysikklæreren ble det stilt noen spørsmål om magnetisme og relativitetsteori. Lars Tveita skriver: "Kan vi ta med i fysikkpensumet at den magnetiske krafta er eit spesialtilfelle av den elektrostatiske krafta, at alle fysiske fenomen i prinsippet kunne vore forklart utan ei magnetisk kraft og eit magnetfelt (eller er ikkje det tilfelle)?"

Jo det er tilfelle. (I parentes bemerket innebærer dette – som nevnt av Knut Liestøl i artikkelen Elektromagnetisme og relativitetsteori - at begrepet ’magnetisk monopol’ er problematisk innenfor rammen av klassisk elektromagnetisme.) Men det er kanskje ikke så heldig å oppfatte den magnetiske kraften som et spesialtlfelle av den elektrostatiske kraften. Magnetkraften representerer nettopp den ikke-statiske, hastighetsavhengige delen av den elektromagnetiske kraften. Den er en relativistisk effekt i den forstand at dersom vi går til den ikke-relativistiske grensen ved å la lyshastigheten gå mot uendelig, så vil ifølge formelen den magnetiske permeabiliteten til vakuum gå mot null (når vi antar at permittiviteten til vakuum, som inngår i Coulombs lov, er endelig). Dermed forsvinner magnetismen i denne grensen.

Øyvind Guldahl stilte følgende spørsmål: Er det slik at enhver ellers nøytral metalleder vil bli negativt ladd når det går strøm i den? Nei jeg mener at om en slår på bryteren og sender strøm gjennom en ledning som opprinnelig var elektrisk nøytral, så vil ledningen fortsatt være nøytral etter at strømmen er slått på. Vi har ingen målinger som tyder på noe annet. Dette innebærer at hvileavstanden mellom de frie elektronene blir større når strømmen settes på, slik at tettheten av elektroner og protoner i labsystemet forblir like stor.

Mekanismen bak økningen av elektronenes hvileavstand når strømmen slås, på kommer fra relativitetsteorien. For at ledningen skal forbli nøytral i labsystemet må alle elektronene akselereres samtidig. En enkel modell for akselerasjonen til elektronene når strømmen slås på, er at de får en rekke slag samtidig i labsystemet. Vi betrakter nå situasjonen etter at elektronene har fått en viss hastighet. På grunn av samtidighetens relativitet mottar ’de forreste’ (de som er forrest sett fra labsystemet) elektronene det neste slaget før de bakerste når vi refererer til elektronenes hvilesystem. Dette forårsaker at hvilelengden mellom elektronene øker.

Revidert utleding av "magnetismen som relativistisk korrektur til elektrisiteten"

I beregningen av magnetfeltet til en strømførende leder som en relativistisk effekt, som ble presentert i forrige nummer av Fysikklæreren, regnet jeg "for enkelthets skyld" med at de positive og negative ionene i en strømførende leder beveger seg med lik hastighet i motsatt retning. Nå har jeg gått gjennom utledingen med den mer realistiske antagelsen at de negative ionene beveger seg, mens de positive er i ro. Det viste seg at regningene faktisk ble enklere enn i det symmetriske tilfellet. Her er den reviderte utledingen.

Vi antar at lederen er nøytral i laboratoriesystemet K. Jeg vil omtale de negative ionene som elektroner og de positive som protoner. Elektronene har hastighet . En testladning beveger seg med hastighet langs lederen i motsatt retning av elektronene, dvs. i strømretningen. I systemet K har lederen en strøm . I testladningens hvilesystem har elektronene og protonene henholdsvis hastighetene