Av Knut Liestøl
Artikkelen som zip-fil 506 kb (Word dokument).

Elektromagnetisme og Relativitetsteori.
Framstillinga her er fyrst og fremst eit fagpedagogisk arbeid, men har, av plassomsyn, delvis blitt svært kortfatta.

Elektromagnetisme, EM, og spesiell relativitetsteori, SR, harmonerer heilt. Det var nettopp EM som gav opphav til SR. Både Lorentz (Lengdekontraksjonen 1892, Lorentztransformasjonen 1904) og Einstein (SR 1905), hadde EM som hovudgrunnlag. Dei elektromagnetiske lovene, dei 4 Maxwell-likningane høyrer framleis til vårt sikraste grunnlag i fysikken.

Lenge meinte ein at Galilei-Newtons mekanikk, GN, var eit like sikkert grunnlag som EM. Men seinare oppdaga ein motstrid mellom GN og EM. Det synte seg at GN ikkje alltid var nøyaktig nok og måtte korrigerast. Med god nok bakgrunn er korreksjonane lette å finne. Med utgangspunkt i ein enkel transformasjonsformel for elektrisk feltstyrke kan ein på få liner utleie grunnlikninga i relativistisk dynamikk saman med mykje meir, spesielt elektromagnetisme. Med hovudtyngda på EM prøver me å vise dette. Men fyrst må naudsynt grunnlag i transformasjon etablerast. Dette er relativt krevjande, men skal her gjerast så enkelt og kortfatta som råd.

SR bygger på fylgjande postulat:

Dei fysiske lovene skal ha same form i alle inertialsystem. (I)

Lysfarten i vakuum har same absoluttverdi c i alle inertialsystem, uavhengig av korleis lyskjelda rører seg. Det same gjeld all elektromagnetisk stråling.(II)

I lys av Maxwells EM er nok (II) ei fylgje av (I). Men mest direkte nyttig for våre føremål er (II), Ein ser m.a. straks at (II) radikalt bryt med GN.

Referansesystem. La S og S’ vere to tråleikssystem i eit homogent og isotropt modellrom, eit gravitasjonsfritt vakuum. S og S’ har samanfallande aksar i eit visst tidspunkt, som ein vel til 0-punkt for tid i S og S’. S’ har konstant fart v = ve_x i S, slik at x’-aksen glir langs x-aksen.

I S er det fullkomne, synkroniserte klokker og observatørar over alt der det trengst. Likeins er det i S’. Klokkene er synkroniserte med elektromagnetiske tidssignal i samsvar med (II). (Klokkene i A og B går synkront om tidssignal frå A i tidspunktet t_A på A-klokka, kjem til B nett når B-klokka viser t_B = t_A + AB/c.)

Hending (event) er noko som føregår på bestemt rom- og tidspunkt. Tidspunktet må alltid avlesast på klokke i ro ved rompunktet der hendinga skjer.

Lengdemåling. Ein rett stav, A´B´, ligg fast i S´. Med ein målestav, M´, i ro i S´, måler ein stavlengda A´B´ = L₀ , kvilelengda til staven. For stavlengda L i S, der staven har farten v, definerer ein fylgjande måleforskrift:

tidig registrerte i S. Avstanden AB = L, målt (3)

Ein studerer to hovudstillingar av staven, A’B’ og A’B’ - v. Er A’B’ - v, kjem AB i nøyaktig same situasjon i høve til S’ som A’B’ er i, i høve til S. S’-klokkene i A’ og B’ vil då vise same tid t’ når A og B blir samtidig registrerte i S i tidsp. t.Skulle ein her finne L₀ > L, måtte ein også ha L > L₀ , som er umogeleg.Altså er L = L₀ når A’B’ - v , og ein kan slutte:

Alle hendingar på eit normalplan til v, som (4)

er samtidige i S, er også samtidige i S’.

Alle avstandar i normalplan til v er invariantar ved overgang (5)

Tidsdilatasjon. Eit langt, rett rør, A’B’, er fast i S’, normalt på v. Nett når A’B’ fell saman med og passerer A₁B₂ i S, startar eit lyssignal frå A’ mot B’ i røret. Klokka K’, fast i B’, viser då t’₁, og klokka K₁, fast i B₁, viser t₁. Dette, at B’ passerer B₁, er ei hending H₁(B’, t’₁) i S’ og H₁(B₁, t₁) i S. Når signalet kjem til B’, viser K’ tidsp. t₂’. B’ har då kome til B₂ i S, der klokka K₂ , fast i B₂ , viser t₂ . Dette, at lyset når B’ og B₂, er ei hending H₂(B’, t₂’) i S’ og H₂(B₂, t₂) i S. På vegen A’B’ i S’ har lyset brukt tida T₀ = t₂’ – t₁’. I S har lyset gått "hypotenusen" A₁B₂ og brukt tida T = t₂ – t₁. Då blir B₁B₂ = vT. Etter (2) og (5) blir A’B’ = A₁B₁ = cT_o og A₁B₂ = cT. Av trekanten A₁B₁B₂ ser ein straks at T > T_o og at

(cT_o)² = (cT)² - (vT)² T_o =

når ein set

Dette er formelen for tidsdilatasjon. Då ? > 1, når v > 0, ser ein at

Tidsavstanden mellom to hendingar er minst i det (7)

T_o kallast stundom kviletida. I raske fly går altså klokkene seinare enn dei som er i ro på bakken. Dette er eit radikalt brot med GN, der tid er invariant. Men effekten er i regelen svært veik. Jamvel i dei raskaste flya er seinkinga mindre enn usikra for vanlege klokker. Atomur må til for å påvise fenomenet i fly.

Lengdekontraksjonen. Me nyttar her same tankeeksperiment som gav (6) og (7). B₁ og B₂ er i S faste punkt. B₁B₂ har i S lengda L_o = vT, som her er kvilelengde. Men i S´ har B₁ farten - v og må i tida T_o ha gått vegen -vT_o. Målt i S´ i tidspunktet t₂´ har difor "staven" B₁B₂ lengda

som er formelen for lengdekontraksjon. Lengda blir altså kortare di større farten v er.

Lorentztransformasjonen for koordinatar og tid. Ei hending H, t.d. tenning av ei lampe , fast i punktet (x’, y’, z’) i S’, føregår i tidsp. t’ i S’. I S skjer H i rompunktet (x,y,z) og tidsp. t. Me søker samanhengen mellom (x,y,z, t) og (x’,y’, z’, t’). Etter (5) er y = y’ og z = z’. Så ser me på "staven" med kvilelengde L_o = x’ i S’ og fart v i S. Målt i S i tidsp. t er denne lengdekontrahert og har lengda L = x - vt. Etter (8) er då x’ = ?(x - vt) (a). På nøyaktig same måten , der merkte og umerkte bokstavar byter plass og – v kjem i staden for + v, finn ein x = ?(x’ + vt’) (b). (a) og (b) gjev

Den fullstendige samanhengen, Lorentztransformasjonen for koordinatar og tid, blir då

(9)

Lorentztransformasjon for fart og akselerasjon. Ein partikkel P har i S i tidsp. t posisjon r = (x,y,z), fart u og akselerasjon a. Dei samsvarande storleikane i S’ er t’, r = (x’,y’,z’), u´ og a’. Me søker a’ uttrykt ved a når u = v ó u’ = 0.

Me set a_p = (a_x , 0, 0), a_n = (0, a_y , a_z) og får a´ = a_p´ + a_n´ = ?³a_p + ?²a_n. (10)

Me treng også eit par ?-formlar :

Her er u farten til ein partikkel med akselerasjon a.

Me har vidare bruk for Newtons 2. Lov i eit spesialtilfelle: Ein partikkel med kvilemasse m_o blir i S påverka av ein kraftsum F og får akselerasjon a. Nett når partikkelen har fart 0 i S, blir, etter Newton,

F = m_oa (13)

Dette reknar ein gjeld eksakt. Vektorformelen

(14)

har me også bruk for.

Aktuelle EM-formlar. Før me går til teoretisk utleiing , skal me kort presentere dei EM-formlane som er aktuelle for våre føremål. Fyrst repeterer me litt om elektrisk feltstyrke eller flukstettleik. La det i S vere eit elfelt i ro, men ikkje magnetfelt. I eit punkt P i feltet blir ein elladning q påverka av ei elkraft F. Elfeltstyrken i P er då E = F/q. Merk at F = qE er uavhengig av farten til q. At q er fartuavhengig, ein invariant konstant, høyrer til grunnpostulata i EM.

Nær knytt til eller ekvivalent med ladningsinvarians er fluksinvarians. La ei lukka flate F inneslutte elladningar med sum Q. Ladningane omgjev seg med elfelt. Ut gjennom elementet dF av F går elfluksen d? = E?dF, der E er feltstyrken eller flukstettleiken på dF. Totalfluksen frå Q ut gjennom F blir då

Etter Gauss-Maxwell er

(G)

Dette er Gauss’ lov eller Maxwells 1. likning på integralform. er dielektrisitetskonstanten for vakuum. For ladningar i ro i S, finn ein lett (G) ved hjelp av Coulombs lov. For ladningar i rørsle går ikkje dette. Men eksperiment og observasjon syner at (G) gjeld uavhengig av korleis ladningane rører seg. ? er altså ein invariant konstant, uløyseleg knytt til ladningen Q. Saman med (II) er (G) basispostulat i vår framstilling. Merk at både (II) og (G) er invarianslover.

Så litt om magnetfelt. La det i S vere eit stasjonært magnetfelt, men ikkje elfelt. Styrke og retning av magnetfeltet i eit punkt P karakteriserer ein med storleiken B, magnetisk flukstettleik eller induksjon. B er ein vektor med same pilretning som den krafta ein magnetisk nordpol i P ville bli påverka av.

La ein elladning q gå gjennom P med fart u. Då vil magnetfeltet B i P påverke q med krafta

som kallast magnetkraft eller Lorentzkraft. I kvilesystemet til q må dette vere ei elektrisk kraft, årsaka av eit elektrisk felt. Og ein kan slutte:

Når eit magnetfelt B blir transportert med fart v gjennom S, induserer det eit elfelt

i S. Dette er primærlova eller fundamentallova for induksjon av elfelt. E, B og v er storleikar i same hending i S.

Korleis oppstår magnetfelt? Ser ein på magnetfeltet kring ein straumførande leiar, blir ein fort klar over at det må vere elfelta frå dei strøymande ladningane som "årsakar" magnetfeltet. Elfelt i rørsle induserer altså magnetfelt. Ved hjelp av Biot-Savarts lov og Coulombs lov kjem ein lett fram til primær- eller fundamentallova for induksjon av magnetfelt:

i S. (B, v og E er her verdiar i same hending, altså i same rom- og tidspunkt i S) Serleg stringent og generelt overtydande er ikkje den nemnde utleiinga.

Me innfører no ein tenkt hjelpepartikkel, ein magnetisk monopol med invariant eller fartuavhengig ladning m, vald slik at i eit magnetfelt B blir m påverka av ei fartuavhengig kraft F = mB. La det i S vere eit statisk elfelt E, men ikkje magnetfelt. Ein monopol med ladning m fer med fart u gjennom feltet. I kvilesystemet til m har elfeltet farten - u , og induserer der, etter (19), eit magnetfelt. Dette må påverke m med ei kraft, som observert i S, blir

ein parallell til magnetkraftlova. (17-20) er elementærlover som detaljforklarar fenomena.

(Eksperimentell prøving av (20) er vanskeleg av di ein berre disponerer magnetiske dipolar. Ekte, perfekte monopolar er hittil ikkje funne og kan heller ikkje lagast kunstig. I vår teori er det heller ikkje noko som talar for at slike skal finnast. Det ville i så fall vere eit merkeleg samantreff. Ein annan ting er at både (19) og (20) er så uhyre veike effektar. Som me seinare skal sjå, er det relativistiske effektar, og slike er til vanleg veike. Rowlands eksperiment, 1878, syner likevel at direkte prøving av (19) og indirekte prøving av (20) er muleg. Enklast lagar ein magnetfelt ved hjelp av straumførande, metallisk leiar. Men her kan ikkje E og v målast direkte. Elfelta frå dei strøymande leiingselektrona blir nemleg oppheva av motsett retta felt frå dei faste , positive ladningane i leiaren. Men korleis kan den veike effekten (19) vere så lett å demonstrere i form av sterke magnetfelt frå straumførande leiar ? Svaret er at tettleiken av strøymande leiingselektron er så uhorveleg stor. I kopar, t.d., kan kanskje ladningstettleiken av leiingselektrona vere ca 14000 C/cm³ . (Dette om ein reknar 1 leiingselektron pr. Cu-atom.) Elfeltet frå leiingselektrona kan difor bli kolossalt sterkt.))

La det så i S vere eit fritt valt elektromagnetisk felt. Ein punktladning q fer med fart u gjennom punktet P i S, der det er eit elfelt E og eit magnetfelt B. Her blir då q påverka av 2 krefter, den fartuavhengige elkrafta qE og magnetkrafta qu x B. Total elektromagnetisk kraft på q i P blir difor

Under same vilkår tenker me oss at ein monopol m passerer P med fart u. M blir då også påverka av 2 krefter, den fartuavhengige krafta mB og "Lorentzkrafta" c^–2mE x u. Total elektromagnetisk kraft på m blir difor

Transformasjon av flukstettleik. Mellom to like, planparallelle plater er utspent N tynne trådar, normalt platene, like tett over alt. Trådane symboliserer fluksliner. Flukstettleiken definerer me som ein vektor E´, normalt på platene, med absoluttverdi E´ = N/A´ , der A´ er platearealet. Feltmodellen er fast i S´, slik at E’- v. Observert i S vil lengdekontraksjonen samantrykke platene slik at arealet blir A = A´/ ?. (Måleforskrifta er her at heile plateomkrinsen må registrerast samtidig i S.) Trådtalet N er sjølvsagt invariant, det same i S som i S´. Men trådane blir trykte tettare saman, slik at flukstettleiken i S blir E = N/A = ?N er sj?lvsagt invaE´ ¦ v, blir ikkje platene lengdekontraherte i S. Difor er då A = A´, og E = E´.

Ein plasserer så modellen fast i S´ slik at E´ har fritt vald retning. Då vil lengdekontraksjonen forsterke normalkomponenten til E_n = (0, E_y, E_z) = ?E_n´ i S, medan parallellkomponenten E_p = ( E_x ,0,0) blir som i S´, altså E_p = E_p´. Generell transformasjonsformel blir difor

E = E_p´ + ?E_n´ (15)

La det så vere eit statisk elfelt E´ , men ikkje magnetfelt i S´. Då vil transformasjon til S nettopp bli (15), av di fluks og flukslinetal , etter (G), er invariantar ved overgang mellom S og S´. Er det magnetfelt i S´, saman med elfeltet, blir ikkje E´ i (15) totalt elfelt i S. Ein komponent, indusert av magnetfeltet, kjem i tillegg. Sjå (18).

At (15 ) kviler på (G) og (8) med tilhøyrande arealkontraksjon framgår klart av fylgjande generelle utleiing:

Ei lukka flate F´ i ro i S´, omsluttar elladningar i ro i S´ med sum Q. På elementet dF´ av F´ er elfeltstyrken E´ i S´ og E i S. dF´, transformert til S, er dF, der dF´ = F_p + ?dF_n . Dette er arealkontraksjon som fylgjer av (8). Etter Gauss’ lov (G), er elfluksen ? frå Q, ut gjennom F´, den same i S´ som i S. Difor blir

av di F´ er fritt valbar. Ein forutset Q ulik 0.

Maxwells 2. likning tyder på at også magnetisk fluks og flukslinetal er invariantar ved overgang mellom S og S´. For eit magnetfelt B´ i S´ skulle ein då få same transformasjon som (15):

B = B_p´ + B_n´ (16)

I (25) og (25´) viser me at dette er rett. Er det elfelt i S´ saman med magnetfeltet, blir ikkje B i (16) totalt magnetfelt i S. Ein komponent, indusert av elfeltet, kjem i tillegg. Sjå (19) og (26).

Teoretisk utleiing av EM-formlane. Me kan no ta til med hovudoppgåva, stringent, teore- tisk utleiing av EM-formlane, (16-22). Me får då bruk for ein enkel krafttransformasjon. La det i S vere eit statisk elfelt E, men ikkje magnetfelt. Transformert til S´, etter (15), blir dette,

Ein elladning q har fart 0 i S´ og blir der påverka av krafta F´ = qE´. I S blir krafta

Altså blir

som er den søkte krafttransformasjonen.

Då (23) er lineær, gjeld han også for komponentar til F´. I tillegg til elkrafta qE´ kan det også verke ei eller fleire mekaniske krefter på q. (23) gjeld difor uavhengig av om F´ verkar åleine eller saman med andre krefter. F´ treng heller ikkje vere elkraft. La t.d. q vere påverka av berre 2 krefter, elkrafta qE´ og ei mekanisk kraft F´_m= - qE´, slik at q er i likevekt i S´. Men då må også q vere i likevekt i S, og F_m = - F. Mekaniske krefter fylgjer altså også (23). (23) gjeld difor generelt for alle krefter som verkar på ein lekam med fart 0 i S´. S´ er då kvilesystem for lekamen. (Stundom har ein bruk for S´, med fart v i S, til andre føremål. Til ein lekam med fart u i S og u´ i S´ må ein difor finne eit anna kvilesystem, S". La ei kraft F" verke på lekamen i S". Transformert til S blir då krafta

Til EM-føremål løner det seg å omforme (23). Etter (14) er

Altså blir

La det så i S´ vere eit elfelt E´, men ikkje magnetfelt. I S blir elfeltet då, etter (15), Ein ladning q har fart v i S og dermed fart 0 i S´ . Elfeltet i S´ påverkar q med krafta F´ = qE´ . I S, etter (23´), blir krafta

Her kjenner ein att (17), (19) og (21). Ekstra interessant og morosamt er det at magnetfelt og magnetkraft dukkar opp utan at ein på førehand treng kjenne slike fenomen. Det er relativistiske fenomen, direkte konsekvensar av krafttransformasjonen (23) (23´).

Med nytt tankeeksperiment og (23´) finn me så (16,18,20,22): Ein magnetpol m har fart 0 i eit magnetfelt B´ i S´ og får kraftpåverknad F´ = mB´. Transformert til S etter (23´), blir krafta

Som ein ser, inneheld (25) både magnetfelttransformasjon, (16), elfeltinduksjon, (18), Lorentzkraft på magnetpol i elfelt, (20) og total elektromagnetisk kraft på magnetpol i elektromagn. felt, (22), "nye" fenomen og lover som ein på førehand ikkje trong kjenne. I alt har altså (23´), på berre 2 liner, levert oss 7 viktige EM-formlar. Dette syner effektiviteten.

For å utnytte (23´), måtte me i (24,25) la partikkelfarten u til q og m vere lik S´-farten v i S. Jamvel om v er fritt valbar, er dette litt spesielt av di elfeltet eller magnetfeltet også har fart v. Me må difor syne at (17, 20,21,22) gjeld like godt anten u = v eller u v. Ein treng då ei omforming av krafttransformasjonen, der S´ ikkje lenger er kvilesystemet til partikkelen. Denne kan finnast på fleire måtar, t.d. ved hjelp av (23) eller ut frå grunnlikninga (Sjå seinare). Dessverre er utleiinga på vårt nivå heller brysam. Me vel å bruke den generelle grunnlikninga Fyrst må då effektformel, fart-, masse- og massefarttransformasjon finnast. La partikkel A ha posisjon r = (x,y,z), fart u, masse m = m_o massefart p = mu og kraftpåverknad F = i S i tidspunktet t. Samsvarande storleikar i S´ har same, men merkte symbol. Effekt til A er

Herav

A går baneelementet dr = (dx, dy, dz) i tida dt i S, dt´ i S´ og tida d i kvilesystemet til A. Etter (6) er då

Dette er den generelle krafttransformasjonen frå S´ til S. Set ein så inn

og

La så F´ vere elkraft frå eit statisk elfelt E´ i S´. I S er feltet E = Har A ladning q, blir F´ = qE´ og

som inneheld (17,19,21) på generell form. Ein kan også skrive

Byter ein så q, E, og E´ med m, B og B´, blir F´ = mB´ , , og

som er (16,18,20,22). Her er altså u og v fullstendig uavhengige og fritt valbare. u = 0 i (25´) gjev

For lettare å halde orden på dei funne EM- lovene skriv me dei opp att:

(21)

Ved å innføre 4-vektorar og kovariant formulering kan omforminga av (23) til (23") gå glattare. Men dette krev eit mykje større førearbeid.

Formlane (17-23) er alle lineære i E-, B-, og F-komponentane. Dette, saman med drøftinga av (23), syner at formlane gjeld både for total- og komponentfelt. Då vidare alle storleikane i kvar formel er momentanverdiar i same hending, i same rom- og tidspunkt, er det klart at felta i t.d. (21,22) ikkje treng vere konstante. Dei kan variere både i tid og rom.

Elles går det klart fram av utleiinga at alle formlane er relativistisk eksakte, og at magnetfelt, induksjon og Lorentzkrefter er "relativistiske" fenomen.

Me kan no lett skrive opp dei fullstendige transformasjonane av elektromagnetiske felt. La det i S´ vere eit fritt valt elektromagnetisk felt E´ og B´ i vakuum. Transformert til S blir dette

Omvendt blir (26)

Grunnlikninga i relativistisk dynamikk. Ein partikkel A med kvilemasse m_o passerer eit punkt Q i S med fart v og akselerasjon a, årsaka av ei kraft F. Me søker den nøyaktige samanhengen mellom F, m_o og a. I den same hendinga, sett frå S´, har A fart 0, akselerasjon a´ og er påverka av krafta F´. Då farten er 0 i S´, gjeld (13), Newtons 2. lov, F´ = m_oa´, eksakt. Me bruker så (23), (10), (11), (12) og (13) og får straks

Me set

Som er den relativistisk korrigerte Newtons 2. lov, grunnlikninga i relativistisk dynamikk. Då u = v er fritt valbar, er utleiinga heilt generell. m = m_o er relativistisk masse. At ein inkluderer i massen er naturleg, både her og i andre uttrykk. Men ein bør aldri gløyme at det er ein definisjon, ein definisjon som ein innfører av di han m.a. er enkel og hendig.

Relativistisk formel, E_k = (m – m_o)c² , for kinetisk energi til partikkel med kvilemasse m_o og fart v har me ikkje bruk for i vår framstilling. Men for å gjere ho meir fullstendig, tek me han likevel med. Ut frå effektformelen P = c²dm/dt, som me fann under utleiinga av (23"), får me han nemleg godt som gratis.

Då kinetisk energiendring dE_k er lik tilført totalarbeid dW = Pdt, blir

dE_k = dmc² ó E_k = (m – m_o)c².

Ein forutset sjølvsagt då at partikkelen har konstant indre energi.

Som eit tillegg prøver me no kort å syne korleis ein, ved hjelp av dei funne formlane, kan utleie Biot-Savarts lov, Maxwells 3.- og 4. likning, saman med Amperes lov og Faradays induksjonslov:

Biot-Savarts lov. Ein tynn, lukka leiar L av metall ligg i ro i S. L fører konstant straum I. Leiingselektrona på L har ladningstettleik går vegstykket ds på tida dt. På ds er leiingselektronladningen dQ = I eit fast punkt P i avstand r frå elementet ds av L årsakar ladningen dQ på ds eit elfelt etter Coulombs lov. Lova gjeld berre eksakt når dQ ligg i ro. Men då middelfarten v til dQ er så forsvinnande liten, storleiksorden mm/s, gjer ein forsvinnande liten feil ved å rekne som om lova gjeld eksakt for dQ. Elektronstraumen i L liknar på ei sirupseig væske som med sniglefart sig gjennom L. Elfeltet frå dQ feiar over P med farten v og induserer, etter (19), magnetfeltet

som er Biot-Savarts elementærlov. Magnetfeltet i P frå heile L blir då

som er Biot-Savarts lov. Lova er grundig eksperimentelt verifisert. Deduksjonen her syner at ho også teoretisk kviler på solid fundament.

Ved å lese (28) baklengs, ser ein at (29) => (19). Men då ein m.a. her berre disponerer små verdiar av v, kan ein ikkje av denne utleiinga slutte at (19) gjeld for alle v.

( Enklare finn ein (19) ut frå (29) ved å la L vere rett og svært lang. Då er elfeltet frå leiingselektrona på L retta normalt inn mot L. Ein finn E i avstand r frå L ved å tenke seg ei sylinderflate med lengde l og radius r kring L som akse. Etter (G) blir elfluksen ut gjennom sylinderflata

når ein bruker abs.verdiar. Med vektorsymbol blir som er (19). )

Maxwells 4. likning. Ei lukka romkurve K, som ikkje overskjer seg sjølv, er fast i S i vakuum. K har randkurve til eit fast flatestykke F. Elfelt frå ladningar i rørsle induserer magnetfelt langs K. Eitt av elfelta, E_i , overskjer elementet ds av K med fart v_i = dr_i/dt. Etter (19) blir det ved ds indusert magnetfeltet

Rundt K årsakar dette ei magnetmotorisk spenning

der er den elfluksen som pr. tid overskjer K.

La ein leiar L føre straum I gjennom F. Er Q summen av alle dei strøymande ladningane i L, blir, etter (G), elfluksen ut frå desse, Som busta på ein flaskeboste strålar flukslinene inn i L, influerer ikkje på totalfluksen gjennom F, men overskjer stadig K medan den seige "elektronvæska" sig gjennom L. Når ladningen dQ i tida dt glir gjennom F og I er konstant eller kvasistasjonær, vil like stor ladning dQ gli gjennom kvart tverrsnitt av L. Dermed må fluksoverskjering pr. tid av K bli

der j er straumtettleiken gjennom elementet dF av F. Total fluksoverskjering av K pr. tid blir då

Då 1/c² =

som er Maxwells 4. likning på integralform. Når er konstant, går (30) over til Amperes lov. Etter Stokes integralsats kan (30) skrivast

av di F er fritt valbar. (31) er Maxwells 4. likning på differensialform. E er elfeltstyrken og j straumtettleiken gjennom elementet dF av F. er dielektrisitetskonstanten og permeabiliteten for vakuum.

Maxwells 3. likning. La som før F vere eit fast flatestykke i S med randkurve K.Variable magnetfelt går gjennom romet i vakuum. Eitt av desse, B_i , overskjer elemendet ds av K med fart v_i = dr_i/dt. Eit elfelt

induserast då ved ds, etter (18). Rundt K resulterer dette i ein indusert ems

der er den magnetfluksen som pr. tid overskjer K. Då det ikkje finst straumar av magnetladningar, blir er den magnetfluksen som gjennomskjer F og som K totalt omsluttar. Ein får då

som er Maxwells 3. likning på integralform. Etter Stokes integralsats blir

avdi F er vilkårleg. Dette er Maxwells 3. likning på differensialform.

Faradays induksjonslov er ei utviding av Maxwells 3. Likning. I staden for romkurva K tenker ein seg ein tynn, lukka leiar L som ikkje overskjer seg sjølv. L kan røre seg og variere form. Variable magnetfelt overskjer L i vakuum. Når magnetfluksen skjer inn gjennom L, aukar den fluksen , som L omsluttar, med . På elementet ds av L kan det vere eit magnetfelt B = , der B_i har fart v_i = dr_i/dt i høve til S. Samtidig har ds farten u = dr/dt i S. (Relativfarten for B_i i høve til ds er då v_i – u , sett frå S.) B_i induserer, etter (18), elfeltet E = - på ds, og magnetkraft pr. ladning på ds blir, etter (17), Total elektromotorisk "feltstyrke" på ds blir difor, målt i S,

Og emsen rundt L blir

Kort skriv ein,

som er Faradays induksjonslov.

Den skisserte utleiinga av (30), (32) og (34) høver nok ikkje som innføring i emnet. Fylgjande enkle tankeeksperiment kan då gjere nytte:

Eit rektangelforma flatestykke F med randkurve K ligg fast i S. K har hjørna P, Q, R og T, med kortside PQ = b. Ein platekondensator k med homogent e-felt E normalt F glir med fart v parallelt QR, slik at e-fluks stadig overskjer PQ, men ikkje RT. Elfluksen gjennom F vil då variere. I tida dt er fluksendringa Dette er her nett den fluksen som i same tid overskjer PQ. Etter (19) vil kondensatorfeltet E indusere eit magnetfelt B = c^-2vE i S, parallelt med PQ. Over PQ oppstår då ei magnetmotorisk spenning

i samsvar med (30) når I = 0.

På same måten førebur ein (32). Ein held då rektangelet K i ro, men byter ut kondensatoren k med ein magnet m med homogent magnetfelt B normalt F mellom planparallelle polplater. M rører seg nett som k, parallelt QR med fart v. Gjennom F går m-fluksen som i tida dt varierer med den fluksen som i same tid overskjer PQ. Etter (18) induserer m-feltet eit elfelt E = -vB parallelt med PQ i S. Dette årsakar emsen

over PQ i samsvar med (32).

Til å førebu (34) bruker ein magneten m som før, men byter ut K med ein leiar L med same form og plassering som K. L ligg ikkje i ro i S, men rører seg med fart u parallelt QR. Då vil den magnetfluksen , som L omsluttar, endre seg med i tida dt, nett den fluksen som i same tid overskjer PQ av L. M-feltet induserer elfeltet E_v = - vB parallelt PQ i S. Men då PQ har fart u, blir det, sett frå S, magnetkrefter på ladningane i PQ. Etter (17) er magnetkraft pr. ladning E_u = uB langs PQ. Elektromotorisk feltstyrke i PQ blir difor E_m = E_v + E_u = - (v – u)B. Over PQ årsakar denne emsen

i samsvar med Faradays induksjonslov (34).

. Generalisering. Etter same mønster som i dei enkle tankeeksperimenta kan (30,32,34) utleiast generelt. Ein må då bruke algebraiske skalarar i staden for vektorar. Som prøve skisserer me dette kort for (32), går tilbake til Maxwells 3. Likning, der magnetfeltet B_i overskjer ds på K med fart v_i . Dette induserer elfeltet E_i ved ds, som årsakar emsen over ds. Berre normalprojeksjonane v_ix , B_iy og E_iz bidreg her. Sjå figuren. I tida dt blir ds overskoren av i-fluksen B_iydx_ids , der dx_i = v_ixdt. Etter (18) induserer B_iy elfeltet E_iz = - v_ixB_iy langs ds. (ds = ). Dette årsakar emsen

over ds. Total ems i K blir då

som er (32). er her den magnetfluksen som K omsluttar. Bortsett frå summasjon og integrasjon er metoden den same som i den enkle innføringa. Etter same mønster kan like lett (30) og (34) utleiast utan å ty til vektorrekning. I fyrstninga vil kanskje fleire føretrekke dette.

Då inertialsystema S og S´ var fritt valde, har me stillteiande gått ut frå at dei funne lovene er kovariante, at dei, i samsvar med relativitetsprinsippet (I), har same form i alle inertialsystem. Dette måtte ein då også vente av di basispostulata, (II) og (G), som me bygger på, nettopp er invarianslover. Men formelt har me ikkje vist kovariansen, og skal heller ikkje gjere det her, av di det frå kovariant elektromagnetisme er så velkjent.

Legg merke til at det er dei "relativistiske" elementærlovene, (17), (18) og (19), som spelar hovudrolla ved deduksjonen av Faradays induksjonslov og dei to viktige Maxwell-likningane. (19 og G) => (30), (18) => (32) og (17 og 18) => (34). Dette, saman med framstillinga elles, syner kor intim samanheng det er mellom elektromagnetisme og relativitetsteori.

Framstillinga her er fyrst og fremst eit fagpedagogisk arbeid, men har, av plassomsyn, delvis blitt svært kortfatta.

Bø i Telemark, juli 1997. Knut Liestøl.